ベクトル三重積の公式と証明［例題付き］

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本記事の内容

本記事では、ベクトル三重積について解説しています。

公式
例題
ベクトル演算子 $\nabla$ への適用

定義と公式

ベクトル三重積は、3つのベクトル $\bm{A}, \bm{B}, \bm{C}$ について以下のように定義され、右辺の公式が成り立ちます。

$$ \bm{A} \times (\bm{B} \times \bm{C}) = (\bm{A}\cdot\bm{C})\bm{B} - (\bm{A}\cdot\bm{B})\bm{C} \label{eq:1}\tag{1} $$

公式1の証明

式 \eqref{eq:1} の左辺の $x$ 成分を調べると、

$$
\begin{align}
(\bm{A} \times (\bm{B} \times \bm{C}))_x &= A_y (\bm{B}\times\bm{C})_z - A_z (\bm{B}\times\bm{C})_y \\
&= A_y(B_x C_y - B_y C_x) - A_z(B_z C_x - B_x C_z) \\
&= (A_yC_y + A_zC_z)B_x - (A_yB_y + A_zB_z)C_x \\
&= (\bm{A}\cdot\bm{C})B_x - (\bm{A}\cdot\bm{B})C_x
\end{align}
$$

これは $y,z$ 成分についても、同様のことが成立します。
したがって、公式は証明されました。$\myqed$

例題

例題１

$\bm{A}=(1,0,1), \bm{B}=(2,1,1), \bm{C}=(0,-1,2)$ のベクトル三重積を求めよ。

解答

まず、$\bm{B}\times\bm{C}$ は

$$
\bm{B}\times\bm{C} = (3,-4,-2)
$$

よって、

$$
\bm{A} \times (\bm{B} \times \bm{C}) = (4,5,-4)
$$

と求められます。
あるいは、式 \eqref{eq:1} の右辺を用いると、

$$
\bm{A}\cdot\bm{C} = 2, \hspace{4mm} \bm{A}\cdot\bm{B} = 3
$$

より、

$$
\bm{A} \times (\bm{B} \times \bm{C}) = 2\bm{B} - 3\bm{C} = (4,5,-4)
$$

と求められます。

例題２

以下の等式を示せ。

$$ (\bm{A}\times\bm{B})\times\bm{C} = -(\bm{B}\cdot\bm{C})\bm{A} + (\bm{A}\cdot\bm{C})\bm{B} $$

解答

$$
\begin{align}
(\bm{A}\times\bm{B})\times\bm{C} &= -\bm{C}\times(\bm{A}\times\bm{B}) \\
&= -(\bm{B}\cdot\bm{C})\bm{A} + (\bm{A}\cdot\bm{C})\bm{B}
\end{align}
$$

よって、等式は示されました。$\myqed$

ナブラ $\nabla$ への適用

ナブラ $\nabla$ はベクトル演算子で、以下で定義されます。

$$ \nabla := \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right) $$

〈関連記事〉

grad（勾配）については、こちらの記事で解説しています。
grad（勾配）の意味とは？［例題つき］

ここで、ベクトル場 $\bm{A}$ に対して、$\nabla \times(\nabla \times \bm{A})$を考えてみましょう。

ナブラ $\nabla$ はベクトル演算子なので、通常のベクトルと同じように扱うことはできません。

しかし、形式的に式 \eqref{eq:1}に代入することで、

$$ \begin{align} \nabla \times(\nabla \times \bm{A}) &= \nabla(\nabla\cdot\bm{A}) - (\nabla \cdot \nabla)\bm{A} \\ &= \nabla(\nabla\cdot\bm{A}) - \nabla^2 \bm{A} \end{align} $$

を得ます。以下の公式は、例えば電場の波動方程式を導出する際に用いられます。

$$ \nabla \times(\nabla \times \bm{A}) = \nabla(\nabla\cdot\bm{A}) - \nabla^2 \bm{A} \label{eq:2}\tag{2} $$

$\nabla$ はベクトル演算子なので、作用させる相手がいて初めて成立します。したがって、通常のベクトルとは扱いが異なりますが、形式的に公式 \eqref{eq:1} へ代入することで公式が得られます。正式な証明は以下です。

公式2の証明

式 \eqref{eq:2} の左辺の $x$ 成分を調べると、

$$
\begin{align}
(\nabla \times(\nabla \times \bm{A}))_x &= \frac{\partial}{\partial y} (\nabla \times \bm{A})_z - \frac{\partial}{\partial z} (\nabla \times \bm{A})_y \\
&=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right) - \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}\right) \\
&=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}\right) - \left(\frac{\partial^2 A_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2}\right) \\
&= \frac{\partial}{\partial x}(\nabla \cdot \bm{A}) - \nabla^2 A_x
\end{align}
$$

同様に、$y,z$ 成分について

$$
\begin{align}
(\nabla \times(\nabla \times \bm{A}))_y &= \frac{\partial}{\partial y}(\nabla \cdot \bm{A}) - \nabla^2 A_y \\
(\nabla \times(\nabla \times \bm{A}))_z &= \frac{\partial}{\partial z}(\nabla \cdot \bm{A}) - \nabla^2 A_z
\end{align}
$$

が成立します。以上まとめて、

$$
\nabla \times(\nabla \times \bm{A}) = \nabla(\nabla\cdot\bm{A}) - \nabla^2 \bm{A}\hspace{5mm}\myqed
$$

参考文献

安達忠次（1961）『ベクトル解析』培風館
ファインマン・レイトン・サンズ（1969）『ファインマン物理学 III　電磁気学』（宮島龍興訳）岩波書店

定義と公式

例題

例題１

例題２

ナブラ \(\nabla\) への適用

参考文献