オペアンプとは？反転増幅回路・非反転増幅回路などの原理を解説【電子回路】

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本記事の内容

本記事では、オペアンプ（演算増幅器）について解説しています。

基本特性
理想オペアンプの特性・仮想短絡
応用回路
- 反転増幅回路
- 非反転増幅回路
- ボルテージフォロワ
- 加算回路

オペアンプ
1. オペアンプの基本特性
2. 負帰還による利得の安定化
理想オペアンプ
オペアンプを用いた回路
参考文献

オペアンプ

オペアンプの基本特性

オペアンプ（operational amplifier）は、反転入力端子と非反転入力端子の電圧の差を増幅する集積回路で、他の回路素子と組み合わせることで、所望の機能を持つ回路を構成します。

オペアンプは下図のような記号で表されます。

各端子は以下を表します。

反転入力端子（$v_-$）
非反転入力端子（$v_+$）
出力端子（$v_\mathrm{o}$）
正の電源（$V^+$）
負の電源（$V^-$）

オペアンプの出力電圧 $v_\mathrm{o}$ は次式で与えられます。

オペアンプの基本特性

$$ v_\mathrm{o} = A(v_+-v_-) \label{eq:1}\tag{1} $$

ここで $A$ はオペアンプ単体の利得（入力電圧と出力電圧の比）を表し、開ループゲインと呼ばれます。

上式のように、オペアンプは入力端子間の電圧を $A$ 倍だけ増幅した電圧を出力します。

出力電圧は電源電圧による制約を受け、$V^- \leq v_\mathrm{o} \leq V^+$ が成立します。

式 \eqref{eq:1} は、この制約を満たしているときのみ成立し、出力電圧が $V^+$ を上回る（$V^-$ を下回る）と、出力電圧は $V^+$ （$V^-$）に飽和します。

オペアンプは等価的に下図のように表されます。

ここで、$R_\mathrm{i}$ は入力インピーダンス、$R_\mathrm{o}$ は出力インピーダンスです。

オペアンプには以下の特性があります。

開ループゲイン $A$：大きい
入力インピーダンス $R_\mathrm{i}$：大きい
出力インピーダンス $R_\mathrm{o}$：小さい

一般に、オペアンプの開ループゲインは $10^5$（$100\,\mathrm{dB}$）以上、入力インピーダンスは $2\,\mathrm{M\Omega}$ 程度、出力インピーダンスは $50\,\mathrm{\Omega}$ 程度になります [1]。

利得はデシベル単位で $20\log_{10} 10^5 = 100\,\mathrm{dB}$ と表せます。

負帰還による利得の安定化

1.1節で述べた通り、オペアンプは入力端子間の電圧の差を増幅させることができます。

しかし、開ループゲイン $A$ が以下の特性上の理由で変動しやすいことから、それ単体で機能させるには不向きです。

オペアンプに供給する電源電圧の大きさの影響を受ける
周波数特性を持つ

オペアンプに供給する電源電圧が大きくなると、$A$ も大きくなります。

また、入力信号の周波数が高くなると、$A$ は小さくなります。

電源電圧や入力信号の周波数によって $A$ が変動してしまえば、出力電圧を適切に制御できなくなり、実用的でありません。

そこで、オペアンプは負帰還（negative feedback）をかけて利得を安定させて用いるのが普通です。

下図の回路は反転増幅回路と呼ばれる回路です（詳細は3.1節を参照）。

出力電圧 $v_\mathrm{o}$ が反転入力端子に戻されていることが分かります。

反転増幅回路の出力電圧は次式で与えられます。

$$ v_\mathrm{o} = -\dfrac{R_2}{R_1}v_\mathrm{i} =: A_\mathrm{c} v_\mathrm{i} $$

上式の $A_\mathrm{c} = -R_2/R_1$ は閉ループゲインと呼ばれます。

理想オペアンプ

理想オペアンプの基本特性

理想オペアンプは、開ループゲイン $A$ が十分大きく、入力インピーダンスが $\infty$、出力インピーダンスが $0$のオペアンプで、回路計算を簡単にするための便宜上の考え方です。

現実のオペアンプは、下表に示すように、有限の開ループゲイン・入力インピーダンス・出力インピーダンスを持ちます。

	理想オペアンプ	現実のオペアンプ
開ループ利得	$\infty$	$10^5$（$100\,\mathrm{dB}$）程度
入力インピーダンス	$\infty$	$2\,\mathrm{M\Omega}$ 程度
出力インピーダンス	$0$	$50\,\mathrm{\Omega}$ 程度

理想オペアンプと現実のオペアンプの基本特性（最右列の代表値は[1]を参照しました）

理想オペアンプによる回路計算を行う際に適用する２つのルールを次節以降で解説します。

ルール１：入力端子に流れる電流は０

オペアンプの入力インピーダンスは非常に大きいため、各入力端子に流れる電流は $0$ と考えることができます。

各入力端子に流れる電流を $i_+$、$i_-$ とおくと、ルール１は次式で表されます。

入力端子に流れる電流は $0$（ルール１）

$$ i_{+} = i_{-} = 0 $$

入力端子に流れる電流が $0$ の場合でも、正負の２つの電源が接続されていることから、出力端子には電流が流れる可能性があります。

ルール２：仮想短絡

開ループゲイン $A$ が十分大きいという条件から、オペアンプの入力端子間の電圧を $0$ と考えることができ、これを仮想短絡（virtual short）と呼びます。

仮想短絡（ルール２）

$$ v_{+} = v_{-} $$

仮想短絡が適用できる理由を簡単に説明します。

前述の通り、オペアンプの開ループゲインは非常に大きく、例えば $A=10^5$ とすると、入力端子間の電圧が $v_+-v_-=0.1\,\mathrm{mV}$ でも、出力電圧は $v_\mathrm{o} = 10\,\mathrm{V}$ になります。

回路で生じる電圧は、通常、オペアンプの入力端子間の電圧 $v_+-v_-$ よりも大きいため、実質的に入力端子間の電圧は $0$ と近似できるのです。

仮想短絡はあくまで計算上の近似であり、実際にオペアンプの入力端子間を短絡するのとは異なります。

理想オペアンプを用いた解析方法

上記の２つのルールに基づいて解析する手順を示します。

理想オペアンプを用いた解析方法

負帰還が起こっている節点で電流則を立てる。このとき、ルール１より、オペアンプに流れ込む電流は $0$。
オームの法則 $(i=v/R)$ から、立てた式を電圧と抵抗で表現する。
ルール２の仮想短絡より $v_+=v_-$ として、出力電圧 $v_\mathrm{o}$ を求める。

例外はありますが、反転増幅回路・非反転増幅回路などの基本的な回路は、この解法で対応できます。

3節で具体的な回路に適用します。

オペアンプを用いた回路

反転増幅回路

上図は反転増幅回路（inverting-amplifier circuit）です。

$v_\mathrm{i}$ は入力電圧、$v_-$ は反転入力端子の電圧、$v_+$ は非反転入力端子の電圧、$v_\mathrm{o}$ は出力電圧を示します。

反転増幅回路の出力電圧は次式で与えられます。

反転増幅回路

$$ v_\mathrm{o} = -\dfrac{R_2}{R_1}v_\mathrm{i} $$

$R_1 < R_2$ のとき、出力電圧は増幅されます。

また、出力電圧の極性が入力電圧のそれと逆になることから、「反転」増幅回路と呼ばれます。

反転増幅回路の出力電圧を、2.4節で述べた解析手順にしたがって導出してみましょう。

計算のため、下図のように各電流を定義します。

節点 $\mathrm{N}$ における電流則より、

$$ i_1 = i_2 + i_- $$

が成立します。ルール１より、オペアンプに流れ込む電流は $0$ なので、$i_- = 0$ を代入して

$$ i_1 = i_2 $$

となります。

続いて、電流 $i_1$、$i_2$ を抵抗と電圧を用いて表現します。

各抵抗にかかる電圧は下図のように表せます。

各電圧は、矢印の始点を基準とした終点における電圧として定義しています。向きに注意してください。

よって、オームの法則より、各電流は

$$ i_1 = \dfrac{v_\mathrm{i} - v_-}{R_1},\quad i_2 = \dfrac{v_- - v_\mathrm{o}}{R_2} $$

と表され、電流則の式より

$$ \dfrac{v_\mathrm{i} - v_-}{R_1} = \dfrac{v_- - v_\mathrm{o}}{R_2} $$

を得ます。

ルール２の仮想短絡より $v_+ = v_-$ が成立することに加え、この回路では $+$ 端子が接地されていることから $v_- = v_+=0$ が成立します。

以上より、求める出力電圧 $v_\mathrm{o}$は

$$ \dfrac{v_\mathrm{i}}{R_1} = - \dfrac{v_\mathrm{o}}{R_2} $$

$$ \therefore\quad v_\mathrm{o} = -\dfrac{R_2}{R_1}v_\mathrm{i} $$

となります。

非反転増幅回路

上図は非反転増幅回路（noninverting-amplifier circuit）です。

$v_\mathrm{i}$ は入力電圧、$v_-$ は反転入力端子の電圧、$v_+$ は非反転入力端子の電圧、$v_\mathrm{o}$ は出力電圧を示します。

非反転増幅回路の出力電圧は次式で与えられます。

非反転増幅回路

$$ v_\mathrm{o} = \left(1 + \dfrac{R_2}{R_1}\right)v_\mathrm{i} $$

非反転増幅回路の出力電圧を、2.4節で述べた解析手順にしたがって導出してみましょう。

下図のように各電流を定義します。

節点 $\mathrm{N}$ における電流則より、

$$ i_1 + i_2 + i_- = 0 $$

が成立します。ルール１より、オペアンプに流れ込む電流は $0$ なので、$i_- = 0$ を代入して

$$ i_1 + i_2 = 0 $$

となります。

続いて、電流 $i_1$、$i_2$ を抵抗と電圧を用いて表現します。

各抵抗にかかる電圧は下図のように表せます。

よって、オームの法則より、各電流は

$$ i_1 = \dfrac{v_-}{R_1},\quad i_2 = \dfrac{v_- - v_\mathrm{o}}{R_2} $$

と表され、電流則の式より

$$ \dfrac{v_-}{R_1} + \dfrac{v_- - v_\mathrm{o}}{R_2} = 0 $$

を得ます。

ルール２の仮想短絡より $v_+ = v_-$ が成立することに加え、この回路では $+$ 端子が入力電圧と一致することから、$v_- = v_+= v_\mathrm{i}$ が成立します。

以上より、求める出力電圧 $v_\mathrm{o}$は

$$ \dfrac{v_\mathrm{i}}{R_1} + \dfrac{v_\mathrm{i} - v_\mathrm{o}}{R_2} = 0 $$

$$ \therefore\quad v_\mathrm{o} = \left(1 + \dfrac{R_2}{R_1}\right)v_\mathrm{i} $$

となります。

（別解）

反転入力端子の電圧は、出力電圧を抵抗 $R_1,R_2$ で分圧したものなので、

$$ v_- = \dfrac{R_1}{R_1+R_2}v_\mathrm{o} $$

が成立します。

仮想短絡より $v_- = v_+ = v_\mathrm{i}$ が成立するので、同じ解が得られます。

ボルテージフォロワ

上図はボルテージフォロワと呼ばれる回路です。

ボルテージフォロワの出力電圧 $v_\mathrm{o}$ は、入力電圧 $v_\mathrm{i}$ に等しくなります。

ボルテージフォロワ

$$ v_\mathrm{o} = v_\mathrm{i} $$

出力が入力に追従することから、ボルテージフォロワと呼ばれます。

この回路は、出力インピーダンスの高い回路と入力インピーダンスの低い回路を接続する際のバッファとして用いられます。

例として、下図のように、出力インピーダンス $r$ の電圧源に、理想オペアンプを用いたボルテージフォロワを接続し、出力端子に抵抗 $R$ を接続する場合を考えます。

出力インピーダンス $r$ の電圧源 $E$ にボルテージフォロワを接続した回路

ルール１より、$+$ 端子に流れ込む電流は $0$ なので、$v_+ = E$ となります。

ルール２の仮想短絡より、$v_- = v_+ = E$ となります。

$-$ 端子と出力端子は接続されているので、結局のところ、出力電圧は $v_\mathrm{o} = E$ となり、入力電圧と同じ電圧が抵抗 $R$ に印加されます。

では、ボルテージフォロワを接続しない場合はどうなるでしょうか。

抵抗 $R$ に印加される電圧は、電圧源の出力インピーダンスと接続する抵抗で分圧され、

$$ v_\mathrm{o} = \dfrac{R}{r+R}E $$

となります。

例えば、$r=1\,\mathrm{k\Omega}$、$R=1\,\mathrm{k\Omega}$ とすると、抵抗に印加される電圧は $E/2$ で入力電圧の半分になります。

一方で、ボルテージフォロワを接続した場合、抵抗には入力電圧と同じ大きさの電圧が印可されます。

このように、出力インピーダンス $r$ の高い回路は、ボルテージフォロワを用いることで、出力インピーダンスの低い回路へと変換することができます。

$r\ll R$ が成立する場合には、ボルテージフォロワを接続しなくとも、出力電圧と入力電圧の差は小さくなります。$r\ll R$ は出力インピーダンスに比べて入力インピーダンスが十分大きいことを意味し、いわゆる「ロー出しハイ受け」の状況です。

現実のオペアンプは有限値の出力インピーダンスを持ちますが、通常 $50\,\mathrm{\Omega}$ 程度なので、入力インピーダンスが極端に小さくなければ、ボルテージフォロワは正しく機能します。

加算回路

上図は加算回路（summing-amplifier circuit）を表します。

$v_1,v_2$ は２つの入力電圧、$v_-$ は反転入力端子の電圧、$v_+$ は非反転入力端子の電圧、$v_\mathrm{o}$ は出力電圧を示します。

なお、抵抗 $R_\mathrm{F}$ の $\mathrm{F}$ は帰還（feedback）を意味します。

加算回路の出力電圧は次式で与えられます。

加算回路（2入力）

$$ v_\mathrm{o} = -\left(\dfrac{R_\mathrm{F}}{R_1}v_1+\dfrac{R_\mathrm{F}}{R_2}v_2\right) $$

上の例では２つの入力信号を受け付けましたが、抵抗を並列に接続することで、入力信号の数を増やすことができます。

一般に $n$ 個の入力信号を受け付ける加算回路は、抵抗 $R_1,R_2,...,R_n$ を並列に接続することで実現でき、出力電圧は次式で与えられます。

加算回路（$n$ 入力）

$$ v_\mathrm{o} = -\sum_{i=1}^n \dfrac{R_\mathrm{F}}{R_i}v_i $$

２入力の加算回路の出力電圧を、2.4節で述べた解析手順にしたがって導出してみましょう。

下図のように各電流を定義します。

まず、オペアンプに流れ込む電流が $0$ であることに注意して、$-$ 端子における電流則より

$$ i_1 + i_2 = i_\mathrm{F} $$

が成立します。

続いて、電流 $i_1$、$i_2$、$i_\mathrm{F}$ はオームの法則より、それぞれ

$$ i_1 = \dfrac{v_1 - v_-}{R_1},\quad i_2 = \dfrac{v_2 - v_-}{R_2},\quad i_\mathrm{F} = \dfrac{v_- - v_\mathrm{o}}{R_\mathrm{F}} $$

と表されるので、

$$ \dfrac{v_1 - v_-}{R_1} + \dfrac{v_2 - v_-}{R_2} = \dfrac{v_- - v_\mathrm{o}}{R_\mathrm{F}} $$

を得ます。

ルール２の仮想短絡より $v_- = v_+ = 0$ が成立します。

以上より、求める出力電圧 $v_\mathrm{o}$は

$$ \dfrac{v_1}{R_1} + \dfrac{v_2}{R_2} = -\dfrac{v_\mathrm{o}}{R_\mathrm{F}} $$

$$ \therefore\quad v_\mathrm{o} = -\left(\dfrac{R_\mathrm{F}}{R_1}v_1+\dfrac{R_\mathrm{F}}{R_2}v_2\right) $$

となります。

参考文献

石橋幸男（1990）『電子・情報工学講座4 アナログ電子回路』培風館 pp.212-216,229-232,234
藤田泰弘（2008）『基本電気・電子回路―直感でマスター!アナログ・デジタルエレクトロニクスの基礎』誠文堂新光社 pp.199-205

	理想オペアンプ	現実のオペアンプ
開ループ利得	\(\infty\)	\(10^5\)（\(100\,\mathrm{dB}\)）程度
入力インピーダンス	\(\infty\)	\(2\,\mathrm{M\Omega}\) 程度
出力インピーダンス	\(0\)	\(50\,\mathrm{\Omega}\) 程度