電気回路

RLC共振回路・Q値とは?[図で解説]

2021年9月20日

RLC直列共振回路:共振角周波数 \(\omega_0=1/\sqrt{LC}\) の交流信号を入力した時に、等価的に\(L,C\)が短絡され、電流が極値を取る。

Q値:共振の鋭さを表す数値。\(Q=\omega_0 L/R\)で表される。単位はない(無次元量)。値が大きいほど共振特性は鋭い。

本記事の内容

  • RLC直列共振回路の動作を理解
  • 共振回路の等価回路の作り方を学ぶ
  • Q値の定義・単位・意味を理解する

RLC直列共振回路のインピーダンス・共振角周波数

抵抗\(R\), インダクタ\(L\), キャパシタ\(C\)を直列に接続した交流回路を考えます。

このとき、回路全体のインピーダンス\(Z\)は以下で表されます。

$$Z=R+\jj(\omega L - \frac{1}{\omega C}) $$

本記事では、複素インピーダンスやフェーザの電圧・電流を\(Z, V, I\)のように大文字で表記します。複素数であることを明確にするために文字の上にドットをつけて\(\dot{Z}, \dot{V} , \dot{I} \)と表記することがありますが、ここでは用いません。大きさを表すときは絶対値を取って\(|Z|, |V|, |I|\)のように表記します。

ここで、\(Z\)の虚部が0となる角周波数\(\omega_0\)は

$$ \omega_0 L - \frac{1}{\omega_0 C} = 0$$

$$ ∴ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} $$

となります。\(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\)は共振角周波数と呼ばれます。

〈関連記事〉

LC並列共振回路については、この記事で解説しています。
【電気回路】LC並列共振回路とは?アドミタンスは?[例題つき]

共振回路の等価回路による解析

直列RLC回路に\(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\)の交流信号を入力したとき、回路はどのように動作するでしょうか。

実は、インダクタ\(L\)とキャパシタ \(C\) が短絡され、抵抗\(R\)のみを接続した回路と同じ動作になります。

先ほど、共振角周波数\(\omega_0\)は、インピーダンス\(Z\)の虚部が0になるように選びました。

なので、インピーダンスは\(Z=R\)となり、\(L,C\)を短絡した回路と同じであると解釈できます。

ここで、インダクタ\(L\)とキャパシタ\(C\)にかかる電圧\( V_L, V_C \)を求めてみましょう。

\(\omega=\omega_0\)のとき、回路に流れる電流\(I\)は

$$I = \frac{E}{R}$$

となります。よって、

$$V_L = \jj\omega_0 L I =\jj\frac{\omega_0 LE}{R} = \frac{E}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} \angle{90}^{\circ}$$

$$V_C = \frac{I}{\jj\omega_0 C} = \frac{E}{\jj\omega_0 CR} = \frac{E}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} \angle{-90}^{\circ} $$

と表されます。

2式より、インダクタ\(L\)とキャパシタ\(C\)に発生する電圧は同振幅で逆位相になっていることがわかります。

等価的に短絡とみなせたのは、インダクタとキャパシタにかかる電圧の和が常に0になっているからなのです。

Q値の定義・単位・意味

電源電圧の大きさ\(|E|\)を一定にし、角周波数\(\omega\)を変えると、電流の大きさ\(|I|\)の周波数特性が得られます。

得られた周波数特性から、共振時の電流値の\(1/\sqrt{2}\)倍(\(-3\) dB)の大きさになるときの角周波数を\(\omega_1, \omega_2(\omega_1 < \omega_2)\)とすると、共振回路のQ値は以下で定義されます。

$$ Q := \frac{\omega_0}{\omega_2 - \omega_1}$$

Q値の分母、分子の単位は共に角周波数(rad/s)になっているので、Q値は無次元量、すなわち、単位は存在しません。

Q値の式から、\(\omega_1, \omega_2\)の差が小さいとき、値が大きくなります。つまり、Q値は共振の周波数特性の鋭さを表す尺度なのです。

実際に\(\omega_2-\omega_1\)を求めると

$$\omega_2 - \omega_1 = \frac{R}{L}$$

となります。

\(\omega_1, \omega_2\)は以下の方程式を解くことで求めることができます。
$$ |I|/ |I|_{\rm{max}} = 1/\sqrt{2},\hspace{5mm} |I|_{\rm{max}} = E/R$$式変形が長くなってしまうので、ここでは割愛させていただきました。

共振角周波数は\(\omega_0=1/\sqrt{LC}\)だったので、Q値は

$$Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$$

と求まります。

\(L = 10 \rm{mH}\), \(C = 1\rm{\mu F}\)として、抵抗値を\(R=100 \Omega, 10 \Omega\)のそれぞれに変えたときの、電流の大きさの相対値\(|I|/|I|_{\rm{max}}\)をプロットしたものを示します。

確かに、Q値が大きい方が、鋭い周波数特性が得られているのが分かります。

参考文献

  • 奥村浩士(2002)『エース電気回路理論入門 (エース電気・電子・情報工学シリーズ)』朝倉書店
  • 大下眞二朗(1979)『詳解電気回路演習 上』共立出版
  • 榊米一郎・大野克郎・尾崎弘(1980)『大学課程電気回路(1) (第2版)』オーム社

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