RLC直列共振回路：共振角周波数 \(\omega_0=1/\sqrt{LC}\) の交流信号を入力した時に、等価的に\(L,C\)が短絡され、電流が極値を取る。
Q値：共振の鋭さを表す数値。\(Q=\omega_0 L/R\)で表される。単位はない（無次元量）。値が大きいほど共振特性は鋭い。
本記事の内容
- RLC直列共振回路の動作を理解
- 共振回路の等価回路の作り方を学ぶ
- Q値の定義・単位・意味を理解する
RLC直列共振回路のインピーダンス・共振角周波数
抵抗\(R\), インダクタ\(L\), キャパシタ\(C\)を直列に接続した交流回路を考えます。
このとき、回路全体のインピーダンス\(Z\)は以下で表されます。
本記事では、複素インピーダンスやフェーザの電圧・電流を\(Z, V, I\)のように大文字で表記します。複素数であることを明確にするために文字の上にドットをつけて\(\dot{Z}, \dot{V} , \dot{I} \)と表記することがありますが、ここでは用いません。大きさを表すときは絶対値を取って\(|Z|, |V|, |I|\)のように表記します。
ここで、\(Z\)の虚部が0となる角周波数\(\omega_0\)は
となります。\(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\)は共振角周波数と呼ばれます。
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LC並列共振回路については、この記事で解説しています。
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共振回路の等価回路による解析
直列RLC回路に\(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\)の交流信号を入力したとき、回路はどのように動作するでしょうか。
実は、インダクタ\(L\)とキャパシタ \(C\) が短絡され、抵抗\(R\)のみを接続した回路と同じ動作になります。
先ほど、共振角周波数\(\omega_0\)は、インピーダンス\(Z\)の虚部が0になるように選びました。
なので、インピーダンスは\(Z=R\)となり、\(L,C\)を短絡した回路と同じであると解釈できます。
ここで、インダクタ\(L\)とキャパシタ\(C\)にかかる電圧\( V_L, V_C \)を求めてみましょう。
\(\omega=\omega_0\)のとき、回路に流れる電流\(I\)は
となります。よって、
と表されます。
2式より、インダクタ\(L\)とキャパシタ\(C\)に発生する電圧は同振幅で逆位相になっていることがわかります。
等価的に短絡とみなせたのは、インダクタとキャパシタにかかる電圧の和が常に0になっているからなのです。
Q値の定義・単位・意味
電源電圧の大きさ\(|E|\)を一定にし、角周波数\(\omega\)を変えると、電流の大きさ\(|I|\)の周波数特性が得られます。
得られた周波数特性から、共振時の電流値の\(1/\sqrt{2}\)倍（\(-3\) dB）の大きさになるときの角周波数を\(\omega_1, \omega_2(\omega_1 < \omega_2)\)とすると、共振回路のQ値は以下で定義されます。
Q値の分母、分子の単位は共に角周波数(rad/s)になっているので、Q値は無次元量、すなわち、単位は存在しません。
Q値の式から、\(\omega_1, \omega_2\)の差が小さいとき、値が大きくなります。つまり、Q値は共振の周波数特性の鋭さを表す尺度なのです。
実際に\(\omega_2-\omega_1\)を求めると
となります。
\(\omega_1, \omega_2\)は以下の方程式を解くことで求めることができます。
$$ |I|/ |I|_{\rm{max}} = 1/\sqrt{2},\hspace{5mm} |I|_{\rm{max}} = E/R$$式変形が長くなってしまうので、ここでは割愛させていただきました。
共振角周波数は\(\omega_0=1/\sqrt{LC}\)だったので、Q値は
と求まります。
\(L = 10 \rm{mH}\), \(C = 1\rm{\mu F}\)として、抵抗値を\(R=100 \Omega, 10 \Omega\)のそれぞれに変えたときの、電流の大きさの相対値\(|I|/|I|_{\rm{max}}\)をプロットしたものを示します。
確かに、Q値が大きい方が、鋭い周波数特性が得られているのが分かります。
参考文献
- 奥村浩士（2002）『エース電気回路理論入門 (エース電気・電子・情報工学シリーズ)』朝倉書店
- 大下眞二朗（1979）『詳解電気回路演習 上』共立出版
- 榊米一郎・大野克郎・尾崎弘（1980）『大学課程電気回路(1) (第2版)』オーム社