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本記事の内容
- ノートンの定理が使えるようになる
- ノートンの定理の証明を理解する
ノートンの定理による等価回路の作り方
ノートンの定理は簡潔に言うと、「回路上の任意の2端子を選んだ時、その間の短絡電流、内部抵抗を用いて等価電流源を構成できる」というものです。
図で説明します。
![](https://daigakudenki.com/wp-content/uploads/2021/08/Thevenin_original_1-1-1024x415.png)
内部に電源(電圧源や電流源)を含む回路網を \(N_0\)、含まない回路網を \(N\) とします。
\(N_0\) と \(N\) は、端子 \(a,b\) で接続された状態です。
このとき、\(N_0\) の電圧源を短絡、電流源を開放したときの開放コンダクタンスを \(G_0\)、 端子 \(a,b\) を短絡した時の \(N_0\) の短絡電流を \(J_0\)とおきます。
![](https://daigakudenki.com/wp-content/uploads/2021/08/Norton_fig1-1-1024x286.png)
すると、\(N_0\)は電流 \(J_0\) の理想電流源と内部コンダクタンス \(G_0\) で構成される電圧源と等価になります。
![](https://daigakudenki.com/wp-content/uploads/2021/08/Norton_fig2-1024x681.png)
〈関連記事〉
テブナンの定理は、こちらの記事で解説しています。
テブナンの定理とは?使い方・証明を詳解[例題つき]
【例題1】ノートンの定理
下図の回路にノートンの定理を適用し、等価電流源を求めたうえで、抵抗 \(R\) に流れる電流 \(I\) を計算してみましょう。
![](https://daigakudenki.com/wp-content/uploads/2021/08/Norton_fig3-1024x745.png)
端子 \(a,b\) の短絡電流 \(J_0\) は以下で与えられます。
$$J_0 = \frac{E_1}{R_1} + \frac{E_2}{R_2}$$
開放コンダクタンス\(G_0 (= 1/R_0)\) は
$$G_0 = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$$
![](https://daigakudenki.com/wp-content/uploads/2021/08/Norton_fig4-1024x324.png)
したがって、ノートンの定理より以下の等価電流源を描くことができ、求める電流 \(I\) は
$$I = \frac{\frac{1}{R}}{G_0 + \frac{1}{R}} J_0$$
![](https://daigakudenki.com/wp-content/uploads/2021/08/Norton_fig5-1-1024x697.png)
【例題2】ノートンの定理
下図の回路にノートンの定理を適用し、等価電流源を求めたうえで、抵抗 \(R\) に流れる電流 \(I\) を計算してみましょう。
![](https://daigakudenki.com/wp-content/uploads/2021/08/Norton_fig6-1024x718.png)
端子 \(a,b\) の短絡電流 \(J_0\) は以下で与えられます。
$$ J_0 = \frac{E}{R_1} + J$$
開放コンダクタンス\(G_0 (= 1/R_0)\) は
$$G_0 = \frac{1}{R_1} $$
![](https://daigakudenki.com/wp-content/uploads/2021/08/Norton_fig7-1024x336.png)
したがって、ノートンの定理より以下の等価電流源を描くことができ、求める電流 \(I\) は
$$ I = \frac{R_1}{R_1+R} J_0 $$
![](https://daigakudenki.com/wp-content/uploads/2021/08/Norton_fig5-1-1024x697.png)
ノートンの定理の証明
ノートンの定理の証明には、重ね合わせの原理を用います。
内部に電源(電圧源や電流源)を含む回路網を \(N_0\)、含まない回路を \(N\) とし、端子 \(a, b\) で接続されているとします。
![](https://daigakudenki.com/wp-content/uploads/2021/08/Thevenin_original_2-1024x415.png)
そして、回路網 \(N_0\) の短絡電流を \(J_0\)とおきます。
![](https://daigakudenki.com/wp-content/uploads/2021/08/Norton_fig8-1024x704.png)
ここで、 \(N_0\) と\(N\) の間に電流 \(J_0\)の電流源を接続した、下図の回路を考えます。
![](https://daigakudenki.com/wp-content/uploads/2021/08/Norton_fig9-1024x373.png)
電流源を2つ置いたとしても、電流則より、回路網 \(N\)に流れる電流 \(I\) は変わりません。
したがって、上の回路は元の回路と同じ動作となります。
ここで、この回路について重ね合わせの原理を適用してみましょう。
![](https://daigakudenki.com/wp-content/uploads/2021/08/Norton_fig10-1-1024x181.png)
一方は回路網 \(N\) 側の電流源を開放したもの、もう一方は他のすべての電圧源・電流源を短絡・開放したものです。
一個目の回路において回路網 \(N\) に流れる電流は、短絡電流が \(J_0\) であったことから、\(0\,\mathrm{A}\)になります。
したがって、二個目の回路において回路網 \(N\) に流れる電流は、元の回路のそれと等しくなります。
この回路を解析すれば、元の回路で \(N\) に発生する電圧及び電流を調べることができる、という訳です。
これがノートンの定理の証明になります。
参考文献
- 榊米一郎・大野克郎・尾崎弘(1980)『大学課程電気回路(1) (第2版)』オーム社