ノートンの定理とは？［証明・例題つき］ - 大学の知識で学ぶ電気電子工学

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本記事の内容

ノートンの定理による等価回路の作り方

ノートンの定理は簡潔に言うと、「回路上の任意の2端子を選んだ時、その間の短絡電流、内部抵抗を用いて等価電流源を構成できる」というものです。

図で説明します。

内部に電源（電圧源や電流源）を含む回路網を $N_0$、含まない回路網を $N$ とします。

$N_0$ と $N$ は、端子 $a,b$ で接続された状態です。

このとき、$N_0$ の電圧源を短絡、電流源を開放したときの開放コンダクタンスを $G_0$、端子 $a,b$ を短絡した時の $N_0$ の短絡電流を $J_0$とおきます。

すると、$N_0$は電流 $J_0$ の理想電流源と内部コンダクタンス $G_0$ で構成される電圧源と等価になります。

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下図の回路にノートンの定理を適用し、等価電流源を求めたうえで、抵抗 $R$ に流れる電流 $I$ を計算してみましょう。

端子 $a,b$ の短絡電流 $J_0$ は以下で与えられます。

$$J_0 = \frac{E_1}{R_1} + \frac{E_2}{R_2}$$

開放コンダクタンス$G_0 (= 1/R_0)$ は

$$G_0 = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$$

したがって、ノートンの定理より以下の等価電流源を描くことができ、求める電流 $I$ は

$$I = \frac{\frac{1}{R}}{G_0 + \frac{1}{R}} J_0$$

下図の回路にノートンの定理を適用し、等価電流源を求めたうえで、抵抗 $R$ に流れる電流 $I$ を計算してみましょう。

端子 $a,b$ の短絡電流 $J_0$ は以下で与えられます。

$$ J_0 = \frac{E}{R_1} + J$$

開放コンダクタンス$G_0 (= 1/R_0)$ は

$$G_0 = \frac{1}{R_1} $$

したがって、ノートンの定理より以下の等価電流源を描くことができ、求める電流 $I$ は

$$ I = \frac{R_1}{R_1+R} J_0 $$

ノートンの定理の証明には、重ね合わせの原理を用います。

内部に電源（電圧源や電流源）を含む回路網を $N_0$、含まない回路を $N$ とし、端子 $a, b$ で接続されているとします。

そして、回路網 $N_0$ の短絡電流を $J_0$とおきます。

ここで、 $N_0$ と$N$ の間に電流 $J_0$の電流源を接続した、下図の回路を考えます。

電流源を2つ置いたとしても、電流則より、回路網 $N$に流れる電流 $I$ は変わりません。

したがって、上の回路は元の回路と同じ動作となります。

ここで、この回路について重ね合わせの原理を適用してみましょう。

一方は回路網 $N$ 側の電流源を開放したもの、もう一方は他のすべての電圧源・電流源を短絡・開放したものです。

一個目の回路において回路網 $N$ に流れる電流は、短絡電流が $J_0$ であったことから、$0\,\mathrm{A}$になります。

したがって、二個目の回路において回路網 $N$ に流れる電流は、元の回路のそれと等しくなります。

この回路を解析すれば、元の回路で $N$ に発生する電圧及び電流を調べることができる、という訳です。

これがノートンの定理の証明になります。