フェーザ表示と交流回路の解析［例題つき］【電気回路】

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本記事の内容

本記事では、交流信号の表現方法であるフェーザについて解説しています。

フェーザ表示・フェーザ図
インピーダンス
交流RLC回路

フェーザ
回路素子とフェーザ表示
インピーダンスとアドミタンス
例題：RLC回路
参考文献

フェーザ

フェーザ表示とフェーザ図

交流電圧のフェーザ表示を導入します。

振幅 $V$, 角周波数 $\omega$ の交流電圧を

$$ v(t)=V\sin{(\omega t + \theta)} $$

と表します。ここで、$\theta$ は初期位相です。オイラーの公式より、

$$ \ee^{\jj(\omega t+\theta)} = \cos{(\omega t+\theta)}+\jj\sin{(\omega t+\theta)} $$

が成立するので、

$$ v(t)=\mathrm{Im}\left[V\ee^{\jj(\omega t+\theta)}\right] $$

と表すことができます。ただし、$\mathrm{Im}[\cdot]$ は複素数の虚部を取る操作です。

ここで、大きさ $V$、位相 $\theta$ の

フェーザ

$$ \dot{V}=V\ee^{\jj\theta} = V\angle \theta $$

なる複素数 $\dot{V}$ を定義すると、電圧の瞬時値 $v(t)$ は

$$ v(t)=\mathrm{Im}\left[\dot{V}\ee^{\jj\omega t}\right] \label{eq:1}\tag{1} $$

と表すことができます。この複素数 $\dot{V}$ をフェーザ（phasor）あるいは複素振幅といいます。

$V\angle\theta$ は複素数の振幅 $V$ と位相 $\theta$ に着目した表現で、極形式・フェーザ形式などと呼ばれます。

フェーザ $\dot{V}$ は正弦波信号の

振幅 $V$
位相 $\theta$

の2つで一意に定まり、$\ee^{\jj\omega t}$ をかけて虚部を取ることで、瞬時値 $v(t)$ に変換されます。

また、$\dot{V}$ は複素数なので、複素平面上でベクトルとして表現することができ、複素平面上にプロットしたものをフェーザ図といいます。

フェーザから瞬時値への変換

1.1節では、$\mathrm{sin}$ 波で表される電圧のフェーザ表示を考え、式 \eqref{eq:1} のようにフェーザ $\dot{V}$ から瞬時値 $v(t)$ へ変換しました。

一方で、交流電圧を $\mathrm{cos}$ 波で表すこともできます。

電圧 $v(t)$ の瞬時値が

$$ v(t)=V\cos{(\omega t + \theta)} $$

で表されるとき、フェーザ $\dot{V}=V\ee^{\jj\theta}$ を用いて

$$ v(t)=\mathrm{Re}\left[\dot{V}\ee^{\jj\omega t}\right] $$

と表すことができます。ただし、$\mathrm{Re}[\cdot]$ は複素数の実部を取る操作です。

このように、$\mathrm{cos}$ 波の場合には、実部を取ることによって瞬時値へ変換できます。

複素数の実部を取るか、あるいは虚部を取るかの2通りに加えて、フェーザの絶対値を交流波形の振幅（波高値）で定義するか、あるいは実効値で定義するかについても自由度があります。

よって、フェーザ $\dot{V}=V\ee^{\jj\theta}$ の瞬時値 $v(t)$ への変換方法には、以下の4通りが存在します。

フェーザから瞬時値への $4$ 通りの変換方法

$$ \begin{cases} v(t)=\mathrm{Re}\left[\dot{V}\ee^{\jj\omega t}\right] = V\cos{(\omega t + \theta)}&(\mathrm{cos}\text{系, 最大値フェーザ}) \\ v(t)=\mathrm{Im}\left[\dot{V}\ee^{\jj\omega t}\right] = V\sin{(\omega t + \theta)}&(\mathrm{sin}\text{系, 最大値フェーザ}) \\ v(t)=\mathrm{Re}\left[\sqrt{2}\dot{V}\ee^{\jj\omega t}\right] = \sqrt{2}V\cos{(\omega t + \theta)}&(\mathrm{cos}\text{系, 実効値フェーザ}) \\ v(t)=\mathrm{Im}\left[\sqrt{2}\dot{V}\ee^{\jj\omega t}\right] = \sqrt{2}V\sin{(\omega t + \theta)}&(\mathrm{sin}\text{系, 実効値フェーザ}) \end{cases} $$

解析する上では、いずれかの定義に統一しておく必要があります。

電力の分野では、実効値フェーザを用いることが多いです。対して、電磁波解析の分野では、$\mathrm{cos}$ 系の最大値フェーザを用いるのが普通のようです[2]。

本記事ではフェーザの定義の違いを明確にするため、「$\mathrm{cos}$ 系の実効値フェーザ」のように記載しますが、一般的な呼び方ではありません。

電圧則と電流則

電圧則・電流則はフェーザに対しても成立します。

例えば、下図のループについて、フェーザに関する電圧則

フェーザに関する電圧則

$$ \dot{V}_1 + \dot{V}_2 + \dot{V}_3 = 0 $$

が成立します。

上式が成り立つことを確認してみましょう。各素子の電圧の瞬時値に関して

$$ v_1(t) + v_2(t) + v_3(t) = 0 $$

が成り立ちます。それぞれフェーザを用いて表現すると

$$ \mathrm{Re}\left[\dot{V}_1\ee^{\jj\omega t}\right] + \mathrm{Re}\left[\dot{V}_2\ee^{\jj\omega t}\right] + \mathrm{Re}\left[\dot{V}_3\ee^{\jj\omega t}\right] = 0 $$

を得ます。一般の複素数 $z_1,z_2$ について

$$ \mathrm{Re}[z_1] + \mathrm{Re}[z_2] = \mathrm{Re}[z_1+z_2] $$

が成り立つので、

$$ \mathrm{Re}\left[\dot{V}_1\ee^{\jj\omega t}+\dot{V}_2\ee^{\jj\omega t}+\dot{V}_3\ee^{\jj\omega t}\right] = 0 $$

$$ \therefore\hspace{5mm} \dot{V}_1 + \dot{V}_2 + \dot{V}_3 = 0 $$

を得ます。よって、電圧則がフェーザに関しても成立することが示されました。

同様にして、任意の節点に流出入する電流のフェーザの和が $0$ になることを示すことができます。

フェーザに関する電流則

$$ \dot{I}_1 + \dot{I}_2 + \dot{I}_3 = 0 $$

回路素子とフェーザ表示

抵抗 $R$, インダクタ $L$, コンデンサ $C$ それぞれの電圧と電流の関係をフェーザで表現してみましょう。

特に、インダクタ $L$, コンデンサ $C$ は時間領域における微分・積分操作が、$\jj\omega,1/\jj\omega$ の積として表現されるという重要な性質があります。

抵抗にかかる電圧と電流の関係

抵抗 $R$ にかかる電圧, 電流を $v(t),i(t)$ とすると、

$$ v(t)=Ri(t) $$

と表されます。電圧, 電流のフェーザを $\dot{V},\dot{I}$ とすると

$$ \begin{align} \mathrm{Re}\left[\dot{V}\ee^{\jj\omega t}\right] &= R\cdot\mathrm{Re}\left[\dot{I}\ee^{\jj\omega t}\right] \\ &= \mathrm{Re}\left[R\dot{I}\ee^{\jj\omega t}\right] \end{align} $$

より、

抵抗

$$ \dot{V}=R\dot{I} $$

が成立します。

よって、フェーザも時間領域における表現と同様に、オームの法則が成り立ちます。

$R$ は実数なので、抵抗にかかる電圧と電流は同位相になります。

$\dot{V},\dot{I}$ の位相が揃っているので、それぞれのフェーザ図は平行になります。

インダクタにかかる電圧と電流の関係

インダクタ $L$ にかかる電圧, 電流を $v(t),i(t)$ とすると、

$$ v(t)=L\dfrac{\dd i}{\dd t} $$

と表されます。電圧, 電流のフェーザを $\dot{V},\dot{I}$ とすると

$$ \begin{align} \mathrm{Re}\left[\dot{V}\ee^{\jj\omega t}\right] &= L\dfrac{\dd}{\dd t}\mathrm{Re}\left[\dot{I}\ee^{\jj\omega t}\right] \\ &= \mathrm{Re}\left[L\dfrac{\dd}{\dd t}\dot{I}\ee^{\jj\omega t}\right] \\ &= \mathrm{Re}\left[\jj\omega L\dot{I}\ee^{\jj\omega t}\right] \end{align} $$

より、

インダクタ

$$ \dot{V}=\jj\omega L\dot{I} $$

が成立します。

形式的にインダクタを $\jj\omega L$ の抵抗成分を持つ素子として解釈すると、オームの法則が成立することが分かります。

この抵抗成分をインダクタのインピーダンス（impedance）と呼びます。

電圧と電流の位相について考えると、電流 $\dot{I}$ に $\jj=\ee^{\jj\frac{\pi}{2}}$ がかけられているので、電圧 $\dot{V}$ に対して電流 $\dot{I}$ は $90^\circ$ 遅れます。

したがって、$\dot{V},\dot{I}$ はフェーザ図上で直交します。

コンデンサにかかる電圧と電流の関係

コンデンサ $C$ にかかる電圧, 電流を $v(t),i(t)$ とすると、

$$ v(t)=\dfrac{1}{C}\int i(t)\dd t $$

と表されます。電圧, 電流のフェーザを $\dot{V},\dot{I}$ とすると

$$ \begin{align} \mathrm{Re}\left[\dot{V}\ee^{\jj\omega t}\right] &= \dfrac{1}{C}\int\mathrm{Re}\left[\dot{I}\ee^{\jj\omega t}\right]\,\dd t \\ &= \mathrm{Re}\left[\dfrac{\dot{I}}{\jj\omega C}\ee^{\jj\omega t}\right] \end{align} $$

より、

コンデンサ

$$ \dot{V}=\dfrac{\dot{I}}{\jj\omega C} $$

が成立します。

この式から、形式的にコンデンサを $\dfrac{1}{\jj\omega C}$ の抵抗成分を持つ素子として解釈することができます。

インダクタと同様に、$\dfrac{1}{\jj\omega C}$ はコンデンサのインピーダンスと呼ばれます。

電圧と電流の位相について考えると、電流 $\dot{I}$ に $1/\jj=\ee^{-\jj\frac{\pi}{2}}$ がかけられているので、電圧 $\dot{V}$ に対して電流 $\dot{I}$ は $90^\circ$ 進みます。

インピーダンスとアドミタンス

下図のように、抵抗・インダクタ・コンデンサを含む回路を考えます。

2端子間の電圧フェーザが $\dot{V}$, 電流フェーザが $\dot{I}$ のとき、その比 $\dot{Z}$ をインピーダンス（impedance）と呼び、単位は通常の抵抗と同じくオーム $\mathrm{\Omega}$ です。

インピーダンス

$$ \dot{Z}=\dfrac{\dot{V}}{\dot{I}} $$

impede は「妨げる、邪魔する」という意味の動詞で、インピーダンスは電流の流れにくさを表します。

インピーダンス $\dot{Z}$ はフェーザではありません。フェーザは、交流信号の振幅と位相を複素数で表したものであり、$\ee^{\jj\omega t}$ をかけて実部（あるいは虚部）をとると瞬時値に変換されます。それに対して、インピーダンス $\dot{Z}$ は、素子と印加する交流信号の周波数のみに依存し、時間に依らず一定です。よって、そもそも交流信号の振幅を表すものではありませんし、$\ee^{\jj\omega t}$ をかけて実部をとるような操作には意味がないので、フェーザではありません。

具体例として、直列接続したRLC回路を考えます。

抵抗・インダクタ・コンデンサそれぞれの電圧のフェーザを $\dot{V}_R,\dot{V}_L,\dot{V}_C$ 、電圧源のフェーザを $\dot{E}$ とすると、電圧則より

$$ \dot{V}_R+\dot{V}_L+\dot{V}_C=\dot{E} $$

が成り立ちます。また、それぞれのインピーダンスを考えると、回路に流れる電流のフェーザを $\dot{I}$ として

$$ \left(R+\jj\omega L+\dfrac{1}{\jj\omega C}\right)\dot{I} = \dot{E} $$

を得ます。よって、インピーダンス $\dot{Z}$ は

$$ \dot{Z} = R+\jj\omega L+\dfrac{1}{\jj\omega C} $$

となります。

このように、インピーダンス $\dot{Z}$ は、通常の抵抗の直列接続と同じように、各素子のインピーダンスの和として求めることができます。なお、並列接続も、通常の抵抗と同様に計算できます。

インピーダンスの逆数はアドミタンス（admittance）と呼ばれ、単位はジーメンス $\mathrm{S}$ です。

アドミタンス

$$ \dot{Y}=\dfrac{1}{\dot{Z}} = \dfrac{\dot{I}}{\dot{V}} $$

なお、イミタンス（immittance）はインピーダンスとアドミタンスを総称したものです。インピーダンスとアドミタンスを同時に扱いたいときに使われ、次元は存在しません。

インピーダンス $\dot{Z}=R+\jj X$ の実部 $R$ と虚部 $X$はそれぞれ抵抗分・リアクタンス分（reactance）と呼ばれます。

また、アドミタンス $\dot{Y}=G + \jj B$ の実部 $G$ と虚部 $B$ はそれぞれコンダクタンス分・サセプタンス分（susceptance）と呼ばれます。

例題：RLC回路

下図の回路において、電源電圧 $e(t)=E\cos{\omega t}$ を印加したとき、以下の問題に答えてください。ただし、$E=100\sqrt{2}\,\mathrm{V},\,\omega=10000\,\mathrm{rad/s}$ とし、フェーザは $\mathrm{cos}$ 系の最大値フェーザを用いて回答してください。

$(1)$　回路のインピーダンス $\dot{Z}$ を求めてください。

$(2)$　回路に流れる電流のフェーザ $\dot{I}$ および瞬時値 $i(t)$ を求めてください。

$(3)$　抵抗・インダクタ・コンデンサの電圧のフェーザ $\dot{V}_R,\dot{V}_L,\dot{V}_C$ および瞬時値 $v_R(t),v_L(t),v_C(t)$ を求めてください。

$(4)$　抵抗・インダクタ・コンデンサの電圧のフェーザ $\dot{V}_R,\dot{V}_L,\dot{V}_C$ のフェーザ図を描いてください。ただし、電源電圧のフェーザ $\dot{E}$ を実軸正方向としてください。

$(1)$　回路の全インピーダンス $\dot{Z}$ は

$$ \begin{align} \dot{Z} &= R+\jj\omega L+\dfrac{1}{\jj\omega C} \\ &= 5+\jj 5 \\ &= 5\sqrt{2}\,\ee^{\jj\frac{\pi}{4}} \\ &= 5\sqrt{2}\angle \frac{\pi}{4} \end{align} $$

$(2)$　電源電圧のフェーザ $\dot{E}$ は $\dot{E}=100\sqrt{2}$ と表せるので、電流のフェーザ $\dot{I}$ は

$$ \dot{I}=\dfrac{\dot{E}}{\dot{Z}} = \dfrac{100\sqrt{2}}{5\sqrt{2}\,\ee^{\jj\frac{\pi}{4}}} = 20\,\ee^{-\jj\frac{\pi}{4}} $$

瞬時値 $i(t)$ は

$$ i(t) = \mathrm{Re}\left[\dot{I}\ee^{\jj\omega t}\right] = \mathrm{Re}\left[20\ee^{\jj\left(\omega t-\frac{\pi}{4}\right)}\right] = 20\cos{\left(\omega t-\frac{\pi}{4}\right)} $$

$(3)$　各素子の電圧のフェーザは

$$ \begin{align} &\dot{V}_R = R\dot{I} = 100\,\ee^{-\jj\frac{\pi}{4}} \\ &\dot{V}_L = \jj\omega L\dot{I} = 300\,\ee^{\jj\frac{\pi}{4}} \\ &\dot{V}_C = \dfrac{\dot{I}}{\jj\omega C} = 200\,\ee^{-\jj\frac{3\pi}{4}} \end{align} $$

$\jj=\ee^{\jj\frac{\pi}{2}}$ として計算するのがポイントです。

各素子電圧の瞬時値は

$$ \begin{align} &v_R(t) = \mathrm{Re}\left[\dot{V}_R\ee^{\jj\omega t}\right] = 100\cos{\left(\omega t - \frac{\pi}{4}\right)} \\ &v_L(t) = \mathrm{Re}\left[\dot{V}_L\ee^{\jj\omega t}\right] = 300\cos{\left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right)} \\ &v_C(t) = \mathrm{Re}\left[\dot{V}_C\ee^{\jj\omega t}\right] = 200\cos{\left(\omega t - \frac{3\pi}{4}\right)} \\ \end{align} $$

$(4)$　各素子電圧のフェーザ図は下図の通りです。

参考文献

奥村浩士（2002）『エース電気回路理論入門 (エース電気・電子・情報工学シリーズ)』朝倉書店 pp.83-89
黒木修隆（2012）『電気回路 I 』オーム社 pp.50-51