スカラーポテンシャルと存在条件［例題つき］

2021年11月13日 2024年2月19日

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本記事の内容

本記事では、スカラーポテンシャルについて解説しています。

定義
存在条件
例題

スカラーポテンシャルとは

ベクトル場 $\bm{A}(x,y,z)$ に対して、以下が成立するスカラー関数 $\phi(x,y,z)$ を、$\bm{A}$ のスカラーポテンシャル、あるいは単にポテンシャルといいます。

スカラーポテンシャル

$$ \bm{A} = -\nabla \phi = -\left( \frac{\partial \phi}{\partial x},\frac{\partial \phi}{\partial y},\frac{\partial \phi}{\partial z}\right)\label{eq:1}\tag{1} $$

スカラーポテンシャルの存在条件

ベクトル場 $\bm{A}$ がスカラーポテンシャル $\phi$ を持つ条件は以下になります。

スカラーポテンシャルの存在条件

単連結な領域 $D$ に定義されたベクトル場 $\bm{A}$ について、以下は等価になります。

$\bm{A}=-\nabla\phi$ を満たす $\phi$ が存在
$\nabla\times\bm{A} = 0$
領域 $D$ に含まれる任意の閉曲線 $C$ について、$\oint\bm{A}\cdot d\bm{s} = 0$
領域 $D$ の2点 $P,Q$ について、$-\int_P^Q \bm{A}\cdot d\bm{s} = \phi(Q)-\phi(P)$ となり、積分経路によらない値になる。

単連結な空間とは、その空間内の任意のループが連続的に1点に収縮できるような空間を言います。ひもで輪を作り、その両端を引っ張ったとき、どこにも引っかからずに結び目をなくすことができる、というイメージです。

ここでは厳密な証明は行いませんが、1. $\rightarrow$ 2. に関しては、ベクトル解析の公式を用いることで容易に確認できます。

$$ \nabla\times\bm{A} = -\nabla\times(\nabla\phi) = 0 $$

例題

ベクトル場 $\bm{A}(x,y,z) = \bm{r} = (x,y,z)$ に関して、以下を考えてみましょう。

(1) $\nabla\times\bm{A} = \bm{0}$ を示せ

(2) $\nabla|\bm{r}|^2 = 2\bm{r}$ を利用して、スカラーポテンシャル $\phi$ を求めよ。ただし、$\phi(0,0,0) = 0$ とする。

解答

(1)

$ \nabla\times\bm{A} $ の $x$ 成分は

$$
\frac{\partial z}{\partial y} - \frac{\partial y}{\partial z} = 0
$$

同様に $y,z$ 成分についても調べれば、 $\nabla\times\bm{A} = \bm{0}$ が成立。

(2)

(1) より、

$$
\bm{A} = -\nabla\phi
$$

なるスカラーポテンシャル $\phi$ が存在する。与式より、

$$
\bm{r} = \frac{1}{2}\nabla |\bm{r}|^2
$$

なので、任意定数を $C$ として、

$$
\phi = \frac{1}{2}|\bm{r}|^2 + C = \frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2) + C
$$

$\phi(0,0,0) = 0$ ゆえ、$C=0$ 。よって、求めるスカラーポテンシャルは

$$
\phi = \frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)
$$

参考文献

山本有作・石原卓（2020）『理工系の数理　ベクトル解析』裳華房