電磁気学

ガウスの法則とは？［例題付き］

2021年9月7日

本記事の内容

本記事では、ガウスの法則について解説しています。

  • ガウスの法則の解釈と積分形・微分形
  • 例題（線電荷・面電荷・球状電荷）

ガウスの法則とは

ガウスの法則は、任意の閉曲面\(S\) 内の電荷の和を \(Q\) , 真空の誘電率を\(\varepsilon_0\) とすると、閉曲面 \(S\) から出る電気力線の総和は、\(Q/\varepsilon_0\) で表されるというものです。

\(S\) から出る電気力線の総和は、上図の \(q_{n+1}\)のような、\(S\) の外にある電荷に依存しません。

ガウスの法則を表す式には、積分形・微分形があります。

＜積分形＞

$$ \int_{任意の閉曲面 S} \bm{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{Q} {\varepsilon_0}\label{eq:1}\tag{1}$$

ただし、\( Q\) は閉曲面 \(S\) の内部にある全電荷、\(\varepsilon_0\) は真空中の誘電率です。

＜解釈＞

（左辺）= 閉曲面 \(S\) から出る電気力線の総和
（右辺）= 閉曲面 \(S\) 内の総電荷の \(1/\varepsilon_0\) 倍

＜微分形＞

$$ \nabla\cdot \bm{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}\label{eq:2}\tag{2}$$

ただし、\(\rho\) は電荷密度です。

例題

ガウスの法則は、任意の形状の閉曲面を取ることでそこで生じる電場を調べることができます。

しかし、問題を容易に解くことができるのは、きれいな対称性を持つ場合に限られ、一般的にその計算は困難です。

ここでは、容易に解くことのできる例として3つ紹介します。

線電荷

単位長当たりの電荷が \(\lambda\) の無限に長い直線を考えます。

直線を軸とする円柱を閉曲面 \(S\) として取ると、その対称性から、直線の周りの電界は円柱の動径成分のみになります。

円柱の半径を \(r\), 円柱の長さを \(l\) とすると、ガウスの法則より、電界の大きさ \(E\) は以下のように求められます。

$$ \int_{S} \bm{E}\cdot d\bm{S} = E \cdot 2\pi r l = \frac{\lambda l}{\varepsilon_0}$$
$$ ∴ E = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r}$$

したがって、線電荷が作る電場は、直線の距離 \(r\) に反比例することがわかりました。

面電荷

単位面積当たりの電荷が \(\sigma\) の無限に広い平面を考えます。

面と直交するような直方体を閉曲面 \(S\) として取ると、その対称性から、電界は面に垂直な成分のみとなります。

平面に平行な2つの面の面積を \(A\) とすると、 ガウスの法則より、 電界の大きさ \(E\) は以下のように求められます。

$$ \int_{S} \bm{E}\cdot d\bm{S} = EA + EA = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0}$$
$$ ∴ E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$

球状に分布する電荷

半径 \(R\) の球に、電荷密度 \(\rho\) で一様に分布している電荷を考えます。

中心を同じくする球を閉曲面 \(S\) として取ると、その対称性から、電界は球の動径成分のみとなります。

閉曲面の半径の大きさ \(r\) と\(R\) の大小により、閉曲面に含まれる電荷の大きさが異なるので、場合分けが必要です。

ガウスの法則より、電界の大きさ \(E\) は以下のように求められます。

$$ \int_{S} \bm{E}\cdot d\bm{S} = 4\pi r^2 E = \left\{ \begin{eqnarray*} &\frac{4\pi}{3\varepsilon_0} r^3 \rho \hspace{5mm} &(r < R) \\ &\frac{4\pi}{3\varepsilon_0} R^3 \rho \hspace{5mm} &(r\geq R) \end{eqnarray*} \right. $$
$$ \text{∴}\hspace{5mm} E = \left\{ \begin{eqnarray*} &\frac{\rho r}{3\varepsilon_0} &\propto r\hspace{5mm} &(r < R) \\ &\frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2} &\propto \frac{1}{r^2}\hspace{5mm} &(r\geq R) \end{eqnarray*} \right. $$

閉曲面の半径 \(r\) が、球状電荷の半径 \(R\) より小さいとき、電場の大きさ \(E\) は半径 \(r\) に比例し、逆の場合は \(r^2\) に反比例することがわかります。

なお、全電荷を \(Q=\int_V \rho dV\) と置けば、\(r\geq R\) のときの電場の大きさは、点電荷 \(Q\) を考えた時の結果と一致します。すなわち、

$$ E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \hspace{5mm} (r\geq R) $$

と表されます。

参考文献

  1. Spavieri, Gianfranco, G. T. Gillies, and M. Rodriguez. "Physical implications of Coulomb's Law." Metrologia 41.5 (2004): S159.
  2. ファインマン・レイトン・サンズ（1969）『ファインマン物理学 III　電磁気学』（宮島龍興訳）岩波書店

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