ミンコフスキー空間とローレンツ変換【特殊相対性理論】

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本記事の内容

本記事では、ミンコフスキー時空図とローレンツ変換について解説しています。

4次元時空
ローレンツ変換の幾何学的解釈
ローレンツ不変量
ローレンツ収縮・時間の遅れ

〈関連記事〉

ローレンツ変換については、こちらの記事で詳しく解説しています。
ローレンツ変換の使い方【特殊相対性理論】

4次元時空とローレンツ変換

特殊相対性理論におけるローレンツ変換は、以下で表されます。

ローレンツ変換

$$ \left\{ \begin{align} ct' &= \gamma (ct-\beta x) \\ x' &= \gamma(x-\beta ct) \\ y' &= y \\ z' &= z \end{align} \right. $$

ただし、$\beta:=V/c, \,\gamma:=1/\sqrt{1-\beta^2}$ と定義しました。

この式で重要なのは、時間と空間座標が混合しているということです。

このことから、ミンコフスキー（Minkowski）は、空間座標 $(x,y,z)$ に時間を含めた $(x,y,z,ct)$ という座標で指定される4次元時空（spacetime）を提案しました。

$(x,y,z,t)$ でもよいですが、$ct$ とすることで、全て長さの次元になり、記述がきれいというメリットがあります。

その空間はミンコフスキー時空と呼ばれます。

ミンコフスキー時空内の1点 $(x,y,z,ct)$ は、世界点（world point）と呼ばれ、世界点の動く軌跡は、世界線（world line）と呼ばれます。

ローレンツ不変量と距離

以下で定義される量は、ローレンツ変換に対して値を変えないローレンツ不変量になっています。

ローレンツ不変量

$$ s^2 := x^2 + y^2 + z^2 - (ct)^2 $$

実際にローレンツ変換の式を代入することで、確かめてみましょう。

$y,z$ に関しては、変換前後で変わらないので、$x,t$ のみに着目して考えます。

$$ \begin{align} x'^2 - (ct')^2 &= \gamma^2(x-\beta ct)^2 - \gamma^2 (ct-\beta x)^2 \\ &= \gamma^2(1-\beta^2)(x^2-(ct)^2) \\ &= x^2 - (ct)^2 \end{align} $$

したがって、確かにローレンツ不変量になっていることが分かります。

もし、$s^2$ の $(ct)^2$ の項がなければ、$s^2$ は通常の3次元ユークリッド空間の距離の2乗を表します。

このことから、$s^2$ を4次元時空における距離の2乗と考えます。

ミンコフスキー時空図

以下では便宜上、$w:=ct$ とします。このとき、ローレンツ変換の式は、以下のようになります。

ローレンツ変換（$w=ct$ とした）

$$ \left\{ \begin{align} w' &= \gamma (w-\beta x) \\ x' &= \gamma(x-\beta w) \\ y' &= y \\ z' &= z \end{align} \right. $$

ミンコフスキー時空図では、横軸を空間 $x,y,z$、縦軸を時間 $w$ に取ります。

しかし、4次元を図示することはできないため、通常は $x$ のみを横軸に取ります。

ここで、原点から発射した光の世界線について考えると、傾き $\pm 1$ の直線となります。

物体は光の速度を超えないので、物体の世界線は、$w$ 軸を回転軸とした円錐の内側を動きます。

円錐は光円錐（light-cone）と呼ばれます。

ローレンツ変換の幾何学的解釈

$S$ 系に対して、$x$ 軸正方向に一定の速度 $V$ で動く $S'$ 系の座標軸が、ミンコフスキー時空図上でどのように表されるかを考えてみましょう。

まず、$w'$ 軸について考えます。$w'$ 軸上では、$x'=0$ となるので、ローレンツ変換の式より、

$$ \begin{align} 0 &= \gamma(x-\beta w) \\ ∴ w &= \frac{1}{\beta} x \end{align} $$

となり、傾き $1/\beta$ の直線で表されることが分かります。

同様に、$x'$ 軸上では、$w'=0$ なので、

$$ \begin{align} 0 &= \gamma(w-\beta x) \\ ∴ w &= \beta x \end{align} $$

となり、$x'$ 軸は傾き $\beta$ の直線で表されることが分かります。

ミンコフスキー時空における単位格子

$S'$ 系における単位格子（一辺の長さが $1$ の方形）を考えます。

まず、$(x', w')=(1,0)$ となるのは、ローレンツ変換の式より

$$ \begin{align} 1 &= \gamma(x-\beta w) \\ 0 &= \gamma(w-\beta x) \end{align} $$

これを解いて

$$ ∴ \hspace{3mm} (x,w) = (\gamma, \beta\gamma) $$

が得られます。

同様に、$(x', w')=(0,1)$ となるのは、ローレンツ変換の式より

$$ \begin{align} 0 &= \gamma(x-\beta w) \\ 1 &= \gamma(w-\beta x) \end{align} $$

これを解いて

$$ ∴ \hspace{3mm} (x,w) = (\beta\gamma, \gamma) $$

が得られます。

これを図示すると、以下のようになります。

ユークリッド平面で描くと、それぞれの単位長さは異なって見えます。しかし、これはミンコフスキー時空における距離の定義が異なるためです。

ローレンツ収縮

$S'$ 系に固定された物体は、その運動方向に縮んで観測されます。これをローレンツ収縮（Lorentz contraction）といいます。

ミンコフスキー時空図でローレンツ収縮を幾何学的に解釈してみましょう。

$S'$ 系の $x'$ 軸正方向に静止した長さ $1$ の棒は、図の赤線で表され、時刻 $t'$ と共に矢印の方向に進みます。

棒の長さ $1$ は、$S'$ 系から測定した長さです。

この棒を $S$ 系で測定すると、その長さはいくらになるでしょうか。

$S$ 系の時刻 $t=0$ で棒を測定することを考えると、棒は図の緑線として観測されます。

図より、$S$ 系の $(x,w)=(1,0)$ より短くなっていることが分かります。

具体的に端点の座標を求めると、$(x,w) = (1/\gamma,0)$ となります。

つまり、$S$ 系から観測すると、棒の長さは $1/\gamma$ 倍になるのです。

単位格子上の点 $(x,w)=(\gamma,\beta\gamma)$ を通り、$w'$ 軸に平行な直線の式は $$ w=\frac{1}{\beta}(x-\gamma) + \beta\gamma $$ と表せます。$x$ 軸との交点を求めるには、$w=0$ を代入して $$ x=\frac{1}{\gamma} $$ を得ます。

次は逆に、$S$ 系に固定した長さ $1$ の棒が、$S'$ 系からどのように観測されるかを見てみましょう。

$S$ 系の $x$ 軸正方向に静止した長さ $1$ の棒は、図の赤線で表され、時刻 $t$ と共に矢印の方向に進みます。

$S'$ 系の時刻 $t'=0$ で棒を測定することを考えると、棒は図の緑線として観測されます。

図より、$S'$ 系の $(x',w')=(1,0)$ より短くなっていることが分かります。

棒の端点の $S$ 系における座標は $(x,w)=(1,\beta)$ となります。

ローレンツ変換の式より、

$$ \begin{align} x' = \gamma(1-\beta^2) \end{align} $$

$$ ∴ \hspace{3mm} x' = \frac{1}{\gamma} $$

となり、$S'$ 系から測定した場合でも、棒の長さは $1/\gamma$ 倍されることが分かります。

ローレンツ不変量 $s^2$ を用いて考えることもできます。 $$ s^2 = x^2 - w^2 = x'^2 - w'^2 $$ ここで、$x=1, w=\beta, w'=0$ を代入して $$ x'^2 = 1-\beta^2 $$ $$ ∴ \hspace{3mm} x' = \sqrt{1-\beta^2} = \frac{1}{\gamma} $$

時間の遅れ

$S'$ 系の原点に固定された時計を、$S$ 系から測定することを考えましょう。

図の赤線が、時計の世界線になります。

先ほど求めた単位格子より、$S'$ 系における $w'=1$ は、$S$ 系の $w=\gamma$ で観測されることが分かります。

したがって、動いている時計が、静止している時計に比べて遅れていることが分かります。

逆に、$S$ 系の原点に固定された時計を、$S'$ 系から測定することを考えましょう。

$S$ 系から観測して $w=1$ のときの $S'$ 系の座標値は、緑の点線と $w'$ 軸の交点に相当します。

交点の $S$ 系における座標値は $(x,w) = (\beta\gamma^2, \gamma^2)$ となります。

これをローレンツ変換の式に代入して、$(x',w') = (0,\gamma)$ を得ます。

したがって、先ほどと同様に、$S$ 系における $w=1$ は、$S'$ 系の $w'=\gamma$ で観測されることが分かります。

参考文献

風間洋一（1997）『相対性理論入門講義』培風館